M ریاضیاتatimathics
بر همه معلوم است که لسان یک وسیله افهام و تفهیم است وقدیمی ترین لسان طبیعت که مقدم بر همه لسان هاسیت ریاضیات میباشد. چنانچه( گالیله galilah) میگوید "ریاضی زبان طبیعت است" انسانها از ابتدای ابیدایش باین لسان اشنایی داشته و تمام انکشافات و اختراعات در علوم و تکنالوزی مدرن امروزی به بیمانه وسیع مدیون این علم است. و ریاضی را علم مقادیر و اعداد گویند.
ریاضیات به 4 بخش تقسیم شده است
 |
حساب الجبر هندسه مثلثات
Trigonometry Geometry Algebra Arithmetic
حساب Aritmathics
یکی از بخشهای علم ریاضیات بوده که بشمارش و بیمایش اشیا و کمیات قابل بیمایش سرو کار داشته و نتایج انها ذریعه اعداد ارایعه میگردد بنا برین حساب علم اعداد نیز نامیده میشود و در لغت بمعنی شمارش است.
: جیزیکه نتیجه بیمایس و اندازه گیری اشیا را نشان دهد عدد نامیده میشود Number عدد
سمبول عددnumber symbol: هر اان جیزیکه از ان یک عدد معنی میگزدد سمبول عدد است.
و برای ارایه عدد سمبول های مختلف استعمال میگردد.
سمبول های عدد رومی ...................................................VII,VI,V,IV,III,II,I
سمبول های عدد هند و غربی............................................1,2,3,4,5,6,7,
سمبول های عدد شرقی...................................................١.٢.٣.٤.٥.٦.٧
اعداد طبیعیnatural numbers: قدیمی ترین اعدادی که انسانها جهت شنارش کامل اشیا و اعمال حسابی بکار می بردند. اعداد طبیعی اند. وعبارتنداز ........1.2.3.4که بنام رقم نیز یاد میشود.
اعداد مکملcomplet numbers: اعدادی اند که از (0) الی ( )را در بر دارند.
اعداد مشخص : اعدادی اند که واحدات نیز همرایش ذکر گردد. 3کتاب
اعداد مجرد: اعدادی اند که بدون واحد باشد. 3.4.5.6.7
اعداد جفت و طاق even and odd numbers: اعدای مانند 2.4.6.8 اعدادی جفت و اعدادی مانند 1.3.5.7 اعدادی طاق اند.
واحدunite: واحد در لغت بمعی 1 ودر اصطلاح ریاضی مقدار معین که از جنس شی بوجود میاید بنام واحد یاد میگردد.
حس عددی وسلسله شمارش
حس عددی یک قابلیت است که انسان میتواند ذریعه ان نقصان ویا افزایش عناصر را درک نماید . انسانها میتواند تا یک حدی نقصان ویا افزایش عناصر را تشخیص دهد. اما در صورت افزایش مجبور ابد که بشمارش انها ببردازد . ازین دو انسانها جهت شمارش اعداد طبیعی طبقه بندی را بوجود اورده اند.
| بام طبفه بندی سیستم انگلستان | بام طبفه بندی سیستم امریکا | طبقه بندی |
| 10 | 10 | صدها |
| 10 | 10 | هزارها |
| 10 | 10 | میلیاردهل |
| 10 | 10 | میلیون |
| 10 | 10 | بلیارد |
| 10 | 10 | تربلیارد |
| 10 | 10 | تریلیون |
| 10 | 10 | کواردیلیون |
| 10 | 10 | کونتیلون |
| 10 | 10 | سکتیلیون |
| 10 | 10 | سبتلیون |
| 10 | 10 | اوکتیلیون |
| 10 | 10 | نیبتیلون |
| 10 | 10 | ایبتیلیون |
بنا جهت خوانش و نوشتن اعداد با در نظر داشت تفکیک سه سه رقم طبقه ها عمل می نماییم
عملیه های اساسی حساب
Fundamental operation of Aritmathic
1: عملیه جمع (اضافه کردن . علاوه کردن)
2: عملیه تفریق (کم کردن)
3: عملیه ضرب (چند برابر کردن)
4: عملیه تقسیم ( قسمت کردن)
عملیه جمع Addition:
جمع در لغت یکجا نمودن و در اصطلاح ریاضی یکجا کردن اشیا همجنس را جمع گویند.
خواص عملیه جمع property of Addition
1: خاصیت تبدیلیcommutative property 3+2=5
2+3=5
2: خاصیت اتحادیAssociative property
2+3+7=12
(2+3) +7=12
3: عنصر عینیت عملیه جمع صفر است
عنصر عینیت : به عددی گفته میشود که چون با هر عدد جمع یا تفریق شود حاصل جمع یا تفریق همان عدد باشد وان عبارت از صفر (0) است. 2+o=2
note: حاصل جمع را بنام sum یاد میکنند.
عملیه تفریق :
تفریق در لغت جدا کردن و بیدا کردن فرق بین دو شی همجنس میبا شد اما در اصطلاح ریاضی کم نمودن عدد خورد از بزرگ را بنام تفریق یاد میکنند.
: شرط عملیه تفریق اینست که هر گز مفروق از مفروق منه زیاد تر نباشد . اگر مفروق و مفروق منه یکسان باشد عدد صفر بوجود میاید که این دو عدد یکسان را مقفا یکدیگرمی نامند .
74-32=42
خواص عملیه تفریقproperty of subtraction
1:عنصر عینیت عملیه تفریق صفر(0) است. 54-0=54
2: خاصیت تبدیلی commutative property صدق نمیکند.
5-3=2 3-5=-2
عملیه ضرب: multiplication
ساده ترین طریقه عملیه جمع اعداد یکسان را ضرب گویند ویا دریافت مجموع اعداد یکسان را ضرب گویند.
10 =5×2
خواص عملیه ضربproperty of multiplication
1: خاصیت تبدیلیcommutative property5- 20=4×5
5 20 ×4
2: خاصیت اتحادیAssociative property
(5×4) =60
3: خاصیت توزیعی distributive property
3(2+4) =3×2+3×4=6+12=18
4: عنصر عینیت (1) است
5×1=5
5: صفر ضرب در یک عدد مساوی به صفر است
74×0==0
Divisionعملیه تقسیم
تقسیم در لغت قسمت نمودن است و در اصطلاح ریاضی قسمت نمودن یک شی را به چند حصه مساوی تقسیم گویند و به اشکال ذیل نشان داده میشود.
1: 12÷4=3
2: 4:12=3
3: 4/12=3
4: 4 12 3 12
00 3
5: 4
12 12
00خواص عملیه تقسیمproperty of Division
1: هرگاه مقسوم و مقسوم علیه خلاف صفر باشد حاصل تقسیم صفر است.
0=7÷0
2: هرگاه مقسوم علیه صفر و مقسوم خلاف صفر باشد حاصل تقسیم (لایتناهی) است.
7÷0= لایتناهی
3: هرگاه مقسوم و مقسوم علیه باشد درینصورت صفر باشد حاصل تقسیم(مبهم) میگردد.
0 ÷0 = مبهم
4: صفر در عملیه تقسیم موثر است.
قابلیت های تقسیم اعدادDivision abilities
قابلیت تقسیم بر2: عددیکه رقم اول ان جفت یا صفر باشد قابلیت تقسیم بر2 را دارد.
3012. 908.120. 4734. 5856
قابلیت تقسیم بر3:عددیکه مجموع ارقام ان بر 3 بوره قابل تقسیم باشدقابلیت تقسیم بر3 را دارد.
111.906.120.96.153
قابلیت تقسیم بر4: عددیکه دو رقم اول ان صفر یا ویا عدد حاصله از دو رقم اول به 4 بوره قابل تقسیم باشدقابلیت تقسیم بر4 را دارد.
624.7312.1000.
قابلیت تقسیم بر5: عددیکه رقم یکها ان صفر یا عدد 5 باشد قابلیت تقسیم بر5 را درد.
170.2500.4700.555.6430ر
قابلیت تقسیم بر6: عددیکه همزمان بالای 2و3 بوره قابل تقسیم باشدقابلیت تقسیم بر 6 را دارد.
1302.7110.540.5608
قابلیت تقسیم بر7: هرگاه رقم اول یک عدد را حذف نموده انرا دو چند ساخته و از متباقی ارقام تفریق نماییم و اگر حاصل تفریق (0) ویا عددی شود که قابلیت تقسیم بر7 را داشته باشد قابلیت تقسیم بر7 را دارد.
168.128016.22120
قابلیت تقسیم بر8: عددی که3 رقم اول ان (0) ویا عدد حاصله از 3 رقم اول ان بر 8 بوره قابل تقسیم باشدقابلیت تقسیم بر 8 را دارد.
35000.190000.3200.7120.17016
قابلیت تقسیم بر9: عددیکه مجموع ارقام ان بر 9 بوره قابل تقسیم باشدقابلیت تقسیم بر9 را دارد.
77121,41283
قابلیت تقسیم بر10: عددیکه رقم یکها ان صفر باشد قابلیت تقسیم بر10 را دارد.
20.100.750.6400.59720
قابلیت تقسیم بر11: عددیکه حاصل تفریق مجموعه های مراتب جفت و طاق ان صفر وبر 11 یا بوره قابل تقسیم باشدقابلیت تقسیم بر11 را دارد.
13431.7656.3597.22.15281
قابلیت تقسیم بر13: هرگاه رقم اول یک عدد را حذف نموده انرا4 چند ساخته و با متباقی ارقام جمع نماییم و اگر حاصل جمع (0) ویا عددی شود که قابلیت تقسیم بر13 را داشته باشد قابلیت تقسیم بر13 را دارد.
58773,84799
قابلیت تقسیم بر17: هرگاه رقم اول یک عدد را حذف نموده انرا 5 چند ساخته و از متباقی ارقام تفریق نماییم و اگر حاصل تفریق (0) ویا عددی شود که قابلیت تقسیم بر17 را داشته باشد قابلیت تقسیم بر17 را دارد.
1097044,55352
قابلیت تقسیم بر19: هرگاه رقم اول یک عدد را حذف نموده انرا2 چند ساخته و با متباقی ارقام جمع نماییم و اگر حاصل جمع (0) ویا عددی شود قابلیت تقسیم بر19 را داشته باشد قابلیت تقسیم بر19 را دارد.
855
تجزیهfactor
در لغت بمعنی بارچه نمودن ودر اصطلاح ریاضی بدست اوردن عوامل ضربی یک عدد را بنام تجزیه یاد میکنند.
اعداد اولیهprime numbers : اعدادی که تنها دارای دو عامل باشد اعداد اولیه یاد میشود .
.2.3.5.711.13.17.
اعداد مرکب composite numbers : اعداد که اقلا دارای 3 عامل باشد اعداد مرکب یاد میشود.
4.6.8.12.14.15.16.
سوال 1: عدد 1 از کدام جمله اعداد میباشد.
تجزیه یک مرکب به اعداد اولیهfactor of composite numbers:
تجزیه یک مرکب عبارت از تبددیل ان به بشکل عوامل ضربی اعداد اولیه ان میباشد که در تجزیه از قابلیت های تقسیم بر اعداد اولیه کار میگیریم.
7×4=28
2300=2×2×3×5×5×7
96=2×2×2×2×2×3
28 2
14 2
7 7
سوال2: ایا حل بکدام طریقه دیگر نیز امکان دارد.
بزرگترین قاسم مشترکgreatest common factor
عبارت از بزرگترین عددیست که تمام اعداد داده شده بر ان تقسیم شده بتواند.
بیدا کردن به طریقه تجزیه:درین طرقه بعدازتجزیه اعداد عددی مشترک را که دارای کوچکترین توان باشد انتخاب میکنیم. که همان عدد عبارت ازg.c.f میبا 2 10 2 16 2 20
5 5 2 8 2 10
1 2 4 5 5
2 2 1
1
g.c.f = 2
سوال3: طریقه دوم چیست و اقلیدس از کدام طریق حل می نمود.؟
کوچکترین مضرب مشترکleast common multiple
عبارت از عددی است که بالای اعداد داده شده بوره قابل تقسیم باشد .
بیدا کردن به طریقه تجزیه: اولا اعداد را تجریه کرده بعدا از از عوامل ضربی مشترک عددی را که دارای بزرگتزین توان باشد با اعداد غیر مشترک ضرب میکنیم.
72 2 28 2 36 2 36 2 14 2 18 2
18 2 7 7 9 3
9 3 1 3 3
3 3 1
1
L.C.M=504
سوال 4: طریقه د وم ان چیست؟
پیدا کردن بزرگترین قاسم و کوچکترین مضرب مشتزک
برای این منظور عدد را دریک سطر نوشته عملیه تقسیم را بالای ان اجرا می نماییم تا زمانیکه اعداد بالای یک عدد بوره قابل تقسیم باشد.
 |
2 12 16 24 2 6 8 12
3 4 6 |
g.c.f. =2.2=4
l.c.m=2.2.3.4..6=288
سوال 4:رابطه بین l.c.m وg.c.d چطور بوده و دارای کدام فورمول است.
توان Exponent
هرگاه یک عدد چندین مرتبه بنفسش ضرب باشد انرا بنام توان یاد میکند.
3.3.3.3=3 =81
طوریکه 3 را قاعده (base ) . 4 را بنام نما یاد میکنند
قوانین توان rules of exponent
1: ضرب: اگر قاعده ها مساوی و نما ها مختلف باشد از قاعدهای مساوی یکی را گرفته نما ها را جمع میکنیم.
5.5.5.5=5
2: ضرب: اگر قاعده ها مختلف و نما ها مساوی باشد از نما های مساوی یکی را گرفته قاعده ها را ضرب میکنیم.
5.2.1.=100
3: تقسیم: اگر قاعده ها مساوی و نما ها مختلف باشد نمای مخرج را از نمای صورت تفریق می نماییم.
4: تقسیم: اگر قاعده ها مختلف و نما ها مساوی باشداز نما یکی را کرفته قاعده ها را با هم تقسیم میکنیم.
5: اگر یک افاده توان دار به یک نمای دیگر باشد درین حالت نما ها را با هم ضرب می نماییم.
6: هر گاه در حالت تقسیم نما ها ی اعداد مساوی باشد ان اعداد مساوی به (1) است. یعنی هر عدد به نمای (0) مساوی به (1) است.
سوال 5: ایا ثبوت دارد؟
یاداشتnote:
1: هرکاه عدد داخل قوس منفی وبه نمای مثبت باشد حاصل ان مساوی به مثبت یک عدد میگردد.
2: هر گاه عدد داخل قوس منفی و به نمای طاق باشد. حاصل ان مساوی به منفی یک عدد میگردد.
سوال6: ثبوت کنید؟
3: هر گاه یک عدد داخل قوس نباشد اما علامه ان منفی و نمایان مثبت یا منفی باشد حاصل ان مساوی به منفی یک عدد میگردد.
سوال7: چرا؟
افاده های عددیnumberic sentence
هر گاه اعداد طبیعی توسط عملیات چهارگانه حسابی بشمول قوسها ترتیب شده باشد بنام افاده ها ی عددی یاد میگردد. که برای حل ان از عملیه( BEDMAS) استفاده می کنیم.
سوال8: عملیه( BEDMAS) چگونه عملیه است؟
برای حل ان مراحل ذیل را مد نظر میگیریم.
1: عملیه های داخل قوس را رفع می نماییم بترتیب از قوس کوچک الی قوس بزرگ.
2: توان را رفع می نماییم
3: عملیات ضرب و تقسیم را اجرا می نماییم.
4: عملیات جمع و تفریق را اجرا می نماییم.
5+{7-4[3.5(5+2)] -6}=
5+{7-4[3.5(7)] -6}=
5+{7-4[105}-6}=
5++{7-420-6}=
5+{-419}=5-419= -414
کسر هاfractions
کسر در لغت بمعنی شکستاندن میبا شد ودر اصطلاح ریاضی قسمت نمودن یک شی را به چند حصه مساوی و گرفتن یک یا چند حصه انرا کسر گویند.
کسر دو نوع است
 |
کسر عام کسراعشار
اعداد کسریRational number: عبارت از عددی است که یک واحد نا مکمل را نشان دهد.
7/6, 4/3, 5/15, 20/174
اعداد تام: اعدادی را گویند که یک واحد مکمل را نشان دهد
1,2,3,4
کسرعامcommon fraction
مقدار یراکه به چندین حصه مساوی تقسیم نموده و چند حصه انرا در نظر بگیریم این مقدار توسط اعدادی که بیان میشود بنام کسر عام یاد میگردد.
مخرج 
5/12 
بدو نوع است خط بر
صورت
واقعی غیر واقعی
کسرعام واقعیproper fraction: کسری گویند که صورت ان نسبت به مخرج کوچکتر باشد.
3/4, 1/5, 74/220
کسرعام غیر واقعیImproper fracton: کسری را گویند که صورت ان نسبت به مخرج بزرکتر باشد.
8/7, 15/4, 60/27
سوال 9: کسر های واحد و مخلوط چی نوع از کسر ها هستندند؟
عملیه غیر واجب
هر گاه کسر های مخلوط را به کسر کسرعام غیر واقعی تبدیل نماییم از عملیه غیر واجب با استفاده از فورمول های ذیل ساده میسازیم
صورت+ مخرج . عدد صحیح علامه جمع صورت- مخرج . عدد صحیح علامه منفی صورت. عدد صحیح علامه ضرب صورت معکوس کسر . عدد صحیح علامه تقسیم مثا ل ها :
5+3/4= 20+3/4= 23/4
2-4/3= 6-4/3= -2/3
5.2/3= 10/3
2/3= 4.3/2= 12/2=6÷4
سوال10: تجنیس کدام نوع عملیه است؟
تصحیح رفع
هر گاه کسرعام غیر واقعی را بکسر مخلوط تبدیل کنیم این عملیه را تصحیح رفع گویند که جهت اجرای این عملیه صورت را بر مخرج تقسیم میکنیم. 2
8/3 8÷3= 2 3
کسر های معادلequal fractions: عبارت ازکسر هایست که در شکل ظاهری با هم فرق داشته ولی دارای عین مقدار باشد.
½, 2/4, 4/8
برای بدست اوردن کسر ها ی معدل یک عدد ان کسر را ضرب یک عدد خلاف صفر می نماییم.
3/4. 4/4 =12/16
Comparson of common fractionsمقایسه کسر های عام
1: بزرگترین کسر دارای صورت بزرگ است اگر مخارج مساوی باشد.
54/6, 12/6 =54/6>12/6
2: بزرگترین کسر دارای مخرج بزرگ است اگر صورت مساوی باشد.
7/16, 7/20 = 7/20>7/ =16
3: هر گاه کسرها دارای صورت و مخرج متفاوت باشد نخست انها را هم صورت یا هم مخرج ساخته بعدا مقایسه می کنیم.
5/9, 2/3 = 5/9<2/3
هم صورت سازی کسرها
برای هم صورت کسر ها صورت و مخرج کسر اولی را ضرب صورت کسر دومی و صورت و مخرج کسر دومی را صرب صورت کسراولی می نماییم.
3/5, 6/7
3/5.6/6 =18/30
6/7.3/3 =18/30
هم مخرج سازی کسر ها
برای هم مخرج سازی کسر ها صورت و مخرج کسر اولی را ضرب مخرج کسر دومی و صورت و مخرج کسر دومی را ضرب مخرج کسراولی می نماییم.
5/4, 9/7
5/4.7/7 =35/28
9/7.4/4 =36/28
اختصار کسر ها
ساده کردن صورت و مخرج با در نظر داشت قاسم مشترک را اختصار کسر ها گویند که این اختصار صرف در عملیات تقسیم امکان دارد و بس.
35/25 =7/3
عملیات بالای کسر های عامoperation on common fractions
عملیه جمع و عملیه تفریقAddition and subtraction :
1: مخرج های مساوی. صورت ها را با هم جمع یا تفریق می نماییم.
9/7+5/7=9+5/7=14/7=2
8/3 -5/3=8 -5/3=3/3=1
2: مخرج های متفاوت . نکات ذیل را مد نظر بگیرییم
I: L.c.m مخرج ها را دریابید.
II: اینL.c.m مخرج مشترک می باشد.
III:L.c.m را تقسیم مخرج ضرب صورت می نماییم.
IV: صورت ها را جمع یا تفریق می نماییم.
7/4 -5/3=3.7 -4.5/12=21 -20/12=1/2
Note: به یاد داشته باشید که اگر کسر ها دارای اعداد صحیح باشد اولا اعداد صحیح را رفع نموده و بعدا کسر ها را ساده می سازیم.
:Multiplicationعملیه ضرب: در عملیه ضرب کسر ها صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب می کنیم.
3/9.5/2=15/18
Note: هر گاه کسر ها دارای عدد صحیح باشد اولا انرا غیرواجب ساخته در صورت اختصار انرا احتصار می نماییم .
عملیه تقسیم ِDivision : برای تقسیم نمودن کسر های عام . کس.ر اولی را بخالت حودش علامه تقسیم به ضرب و کسر دومی را بر عکس می نماییم و در اخیر کسر ها را با همد یگر ضرب میکنیم.
5/8= 7/12.8/5= 56/60= 14/15÷7/12
کسور مرکب: هر گاه کسر های عام بطور بی هم از عملیات حسابی ترکیب گردیده باشد کسور مرکب یاد می شود.
سوال11: کسری ازچی قرار است؟
کسر اعشارDecimal Fraction
عبارت از کسریست که مخرج ان به قاعده 10 استوار باشد ویا عددی که از تقسیم به توان های 10 بدست میاید کسر اعشار یاد کی گردد.
کسر اعشار بدو نوع است محدود غیر محدود
1: محدود: کسریست که ارقام اعشاری ان ختم نشده باشد.
4/10=0,4
2: نا محدود: کسریست که ارقام اعشاری ان ختم شده باشد.
2/3= 0,666666
تبدیل کسورFractio changes
1: کسر عام به اعشارCommon to Decimal :
برای تبدیل کسر عام به اعشار صورت را تقسیم مخرج می نماییم.
3/4=0,75
2: کسر اعشار به عامDeimal toCommon:
I: محدود: برای تبدیل کسر اعشار محدود ارقام اعشاری را در صورت کسر عام می نویسیم در مخرج به جای علامه اعشاری(1) و بتعداد ارقام اعشاری (0) می گذاریم.
0,843=843/100
II: نا محدود:
A: برای تبدیل کسر اعشار متوالی ارقام اعشاری را نوشته و در عوض فاعده 10 از 9 کارمی گرییم یعنی بتعداد ارقام اعشاری عدد 9 را می گذاریم.
0,345= 345/999
B: در صورتیکه کیسور دارای اعداد متوالی و غیر متوالی باشد در مخرج به تعداد عدد متوالی (9) و به تعداد اعداد غی متوالی (0) میگذاریم و ارقام اعشاری را در صورت می نویسیم.
0,8432=8432/9900
اعمال اربعه اساسی بالای کسور اعشار
Operation on Decimal Frations
1: عملیه جمع و تفریقAddition and Subtraction :
برای جمع و تفریق اعداد اعشاری قسمت صحیح و اعشاری را مساوی ساخته علامات را زیر هم قرار می دهیم و عملیات جمع و تفریق را احرا می نماییم.
20,004+2,68= 22,6840
5,67- 3,4820= 2,1880
2: عملیه ضربMultiplication :
برای ضرب اعداد اعشاری اولا اعداد اعشاری را بد ون در نظر داشت علامه انها ضرب نموده و حاصل ضرب بتعداد ارقام اعشاری مضروب مضروب فیه اعشاریه جدا می نماییم.
3,24.1,2= 3,888
عملیه تقسیم اعداد اعشاریDivision:
برای تقسیم اعداد اعشاری نخست مقسوم و مقسوم علیه را با ضرب نمودن عدد (10) و توانهای ان کسرهای معادل انرا در می یابیم ویا علامه اعشاری انرا از بین برده بعدا اختصار می کنیم.
1,5=17÷25,5
25,5/1,5=15,5/1,5.10/10=255/15=17
سوال 13: اگر علامه اعشاری در مقسوم باشد چگونه عمل می نماییم؟
کسرالکسر
هر گاه صورت و مخرج کسر نیز از کسر ها تشکیل شده باشد کسرالکسر یاد می گردد.
بدو نوع است
 |
ساده مرکبکسرالکسر ساده: عبارت از کسرالکسریست که عملیات حسابی دران وجود نداشته باشد.
کسرالکسر مرکب: : عبارت از کسرالکسریست که عملیات حسابی دران وجود داشته باشد. وبرای حل ان از پایین ترین مخرج عملیه را اغاز می کنیم.
عملیه تقریبRound Off
اعداد اعشاری را به چند رقم محدود از ارقام اعشاری بنویسیم عملیه تقریب یاد می گردد.
اگر بعداز خانه سوم رقم اعشاری کمتر از (5) باشد ازان صرف نظر می نماییم.
واما اگر زیادتر از (5) باشد به رقم اخیر عدد (1) را علاوه نموده و رونداف می نماییم.
5,43432=5,435
72,372945=72,372
نسبتRatio
رابطه بین دو کمیت را نسبت کویند.ویک حد بدون واحد بوده که نشان می دهد کمیت اولی چند مرتبه شامل کمیت دومی است.
بدونوع است حسابی هندسی
حسابی: نسبتی را گویند که رابطه بین دو کمیت را به اساس عملیه تفریق نشان می دهد.
مانند:رابطه بین 15 و 5 را عبارت از 10 است.
15-5=10
هندسی: نسبتی را گویند که رابطه بین دو کمیت را به اساس عملیه تقسیم نشان می دهد.
مانند: نسبت بین دو نفر شاگرد و14 نفر شاگرد عبارت از 2 است.
28/14 =2
: NOTEبصورت عموم زمانیکه اصطلاح نسبت ذکر گردد هدف از نسبت هندسی می باشد.
Antcedent 
= Ratio
Consqeunt کمیت اول کمیت دومی
مثال: تعداد شاکردان یک صنف 45 واز صنف دیکر 65 نفر است نسبت بین انها را تعین کنید؟
r =? a
a =45 r =c =65 c
45
r = =9/13 65
Continued Ratioنسسبت های متمادی
مقایسه تعداد بیشتر از دو کمیت بنام نسبت های متمادی یاد میشود..
برای حل این نوع تناسب اولا نسبت های داده شده را جمع کرده بعدا مقدار داده شده را به مجموع نسبت های داده شده تقسیم می نماییم و خارج قسمت را ضرب هر نسبت داده شده میکنیم.
سوال 14: طریقه امتحان کردن انرا بیان کنید؟
مثال : 480 را بر نسبت های 1.2.4 دریابید.
4+2+1=7
48÷7=68,57 1باقی مانده
1.689,47=68,57
2.68,57=137,14
4.68,57=274,28
تناسب
عبارت از تساوی دو نسبت است ویا مساوات دو کسر میباشد.
A c
b = dعددa و dعبارت از طرفین وعدد c وbرا وسطین گویند.
خواص تناسب
1: حاصل ضرب طرفین مساویست به حاصل ضرب وسطین.
2: معکوس یک تناسب نیز تناسب است.
3: در صورت تغیر طرفین و وسطین کدام تغیر در تناسب رخ نمیدهد.
4: هر گاه یک عدد خلاف صفر را ضرب صورت ومخرج یک تناسب نماییم تناسب جدید بدست میاید.
5: هر گاه مخرج هارا با صورت ها جمع یا تفریق نماییمباز هم یک تناسب است.
7: هرگاه صورت را با مخرجها جمع یا تفریق نماییم نتیجه باز هم یک تناسب است.
8: هرگاه مخرج هارا با صورت جمع درصورت نوشته ومخرج ها را ازصورت تفریق نموده در مخرج بنویسسیم تناسب جدید بدست میاید.
9: اگر سه عنصر یک تناسب با سه عنصر تناسب دومی متقابلا مساوی باشند عنصر چهارم هر دو تناسب نیز مساویست.
تحول کمیت ها مستقیم غیر مستقیم
مستقیم: تناسب مستقیم تناسبی را گویند که رابطه بین دو کمیت طوری باشد که با زیاد ویا کم شدن کمیت اولی کمیت دومی نیز زیاد ویا کم گردد.
مثال: اگر قیمت یک قلم 5 افغانی باشد قیمت 7 قلم چند حواهد بود؟
1/7=5/x = x=5-7/1= x=35
تناسب غیر مستقیم: تناسبی را گویند مه با کم شدن کمیت اولی کمیت دومی زیاد وبا زیاد شدن کمیت اولی کمیت دومی کم کردد. که برای معلوم کردن ان حد نا معلوم معکوس میگردد.
مثال: یک موتر با سرعتkm 30 در ساعت فاصله بین دو شهر را در 20 ساعت طی میکند اگر سرعت موترkm 40 شود مسافه مذکور را در چند ساعت طی خواهد کرد.
a=20b=? 20/x=40/40 = x/20=30/40 =15h
c=30
d=40
سوال 15: تناسب مرکب چیست؟
اوسط حسابی: اوسط حسابی چند مقدار عبارت از حاصل جمع و تقسیم مقدار داده شده است.
3+5+2=10 10/3= 3,3
اوسط هندسی: هرگاه حاصل ضرب دو حد دریک جذرباشد عبارت از اوسط هندسی است.
اوسط هندسی 4و16 را دریابید.m=éa.b
16/m=m/4 =m=16.4 = m =4.2 = m= 8احدیت : یک طریق دیگر از محاسبه تناسب مستقیم بوده طوریکه اولا جز ویا حد را از نسبت مربوطه دریافته بعدا ضرب مقدار داده شده می نماییم .
مثال : اکر قیمت 50 سیت مبایل 75000 افغانی باشد قیمت 10 سیت مبایل را چند است؟
75000/50=1500 1500.10=15000
زکات
زکات دارایی های نقدی تحت شرایط معین چهلم حصه (1/40) انهاست. یعنی نسبت بین زکات و سرمایه 1/40 است ویا 2.5 محاسبه میگردد .
مثال:رکات سرمایه 5000000 افغانی را دریابید.
5000000/Z=1/40
Z/5000000=1/40
Z=125000AF
شراکت
در مسایل شرکتها سهامی و بانکداری لازم میشود یعنی چندین فرد پول های خودرا مشترک می گذارند تا مفاد قابل ملاحظه از ان بدست اورند.
حل:اولا نسبت های سهام را جمع نموده بعدا مفاد را بالای مجموع ان تقسیم کرده و حاصل انرا با نسبت های سهام ضرب می کنیم.
مثال: سهام سه نفر 300000.40000.500000 $ است اگر مفاد انها 3600000 باشد مفاد هر کدام را دریابید.
3+4+5=12
3600000/12=300000
300000.3=900000
300000.4=1200000
300000.5=1500000
سوال16: هر گاه شراکت دارای مدت باشد چیکار باید کرد؟
فیصدpercent
اصطلاح فیصد که به سمبول (%) افاده میگردد عبارت از سوم حصه عدد واحد است ویا کسریست که مخرج ان 100 باشد.
1: پیدا کردن فیصد از جنس جز وکل.
2: پیدا کردن یک مقدار جز ار جنس کل با درنظرداشت فیصدی.
3: پیدا کردن یک مقدار فیصدی از جنس جز با درنطرداشت کل.
مثال:
فیصدی= کل/جز . 100
جز= 100/فیصدی. کل
کل=فیصدی/جز. 100
مثال: چند % عدد 80 عبارت از 20 است؟
فیصدی = 20.100/80 = 25%
15% عدد 80 چند می گردد؟
جز=15.80/100= 12
15% کدام عدد 200 می گردد؟
کل= 100.200/5 1333,333
بیمهInsurance
بیمه عبارت از قرار دادی است که اشخاص یا موسسات خطرات امور زنده گی را در بدل پرداخت وجوه مناسب وقایه می نمایند. طرفین قرارداد بیمه کننده را شرکت بیمه و جانب بیمه شونده تشکیل میدهد.
مثال: شخص خودرا به مبلغ 1000000 بیمه می نماید و سالانه 0.1% پرداخت نماید این شخص سالانه چی مقدار پول پرداخت می نماید؟
I=p.r/100
I=(0.1)(1000000)/100
I=100000/100
I= 1000AF
تخفیفDiscount
در تجارت غرض جلب توجوی مشتری اجناس بعضا کاملای مربوط چند فیصد ارزانتر قیمت اصلی فروخته می شود . فیصدی کاهش قیمت اصلی کالای تجارتی را بنام تخفیف یاد می کنند.
مثال: قمیت یک عراده موتر 2400$ است فروشنده انرا به 2000$ ميفروشد فيصدي تخفيف داده شده را دريابيد
2400-2000=400
24000/100=4000/m4000.100/24000=16,6
Interestربح
یکی از بخشهای عمده حساب بوده که معنی ان سود یا مفاد است.
ربح ساده مرکب
ربح سادهSimple Interest:
هرگاه از یک سرمایه در یک وقت معین به فیصدی تعین شده مفاد بدست اید بنام ربح ساده یاد می گردد.
مدت=T
نرخ=R
سرمایه=S
مفاد=I
I=T.R.S/100
R=I.100/R.S
R=I.100/T.S
S=I.100/T.R
مثال: از سرمایه 1200$ مدت2 سال به نرخ40% چقدر مفاد بدست میاید؟
T=2
R=40
S=1200
I=?
I=2.50.1200/100I=960
Depreciationتنریل
عبارت از کاهش قیبمت مواد فزیکیبه اثر استعمال انهاست و لوازم مستعمل دارای قیمت ارزانتر است .
مثال: یک ماشبن دارای ارزش 4000$ بوده و دوره استهلاک 6 ساله دارد بعداز انقضای مدت مذکور قیمت ان به 400$ تقلیل میابد تنزیل ارزش ماشین سالانه چند فیصد است؟
B=4000$
T=6
D=4000-400=3600$
R=D.100/B.T
R=3600.100/4000.6R=15%
ربح مرکبColmpuond Interest
هر گاه از یک سرمایه همرای مفاد ان دوباره به مفاد گذاشته شود انرا بنام ربح مرکب یاد میکنند.
سرمایه جدید=P
سرمایه قبلی=A
نرخ=R
مدت=T
P=A(1+R/100)T
مثال: از مفاد 800 $ به نرخ10% درمدت 2 سال به ربح مرکب محاسبه کنید؟
P=800(1+10/100)2
P=800(110/10002
P=800(11/100)2
P=800.121/100P=968
سوال17:برای دریافت سرمایه اصلی چطور عمل می نماییم؟
سوال18:اگرمدت به روز و ماه داده شده باشد چی کار باید کرد؟
